Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari
fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang
saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari
berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran
penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan
diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan
teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang
melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika
dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut
dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . Hal ini
kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan
oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton
memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan
berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan
variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi
yang tidak diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus,
persamaan diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan secara
eksplisit.
Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.
Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.
Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu
variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan
turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan
penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin
ilmu. Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan
teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang
berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju
perubahannya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan.
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.
Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. Persamaan tersebut mempunyai bentuk:
dx/dt = ax – axy
dy/dt= -cy+ °xy
Pada persamaan dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Dan pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx.
sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x.pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal: terdapat suatu persamaan y = f(x). Didapat Dy =Dy/Dx.Dx. Jika harga x sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga.pada persamaan dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah peru.
Dalam persamaan linier dan tak linier perrsamaan differensial biasa :
F(t; y; y˙; : : : ; y(n)) = 0;
Dikatakan linear jika F adalah linear dalam vareabel-vareabel y; y˙; : : : ; y(n). Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear order n diberikan dengan a0(t)y(n) + a1(t)y(n¡1) + : : : + an(t)y = g(t).
Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan merupakan persamaan tak linear.
Persamaan tersebut tak linear karena suku sin ยต. Persamaan diferensial : y’’ + 2e ty’+ yy’+ y2 = t4 , Juga tak linear karena suku yy’ dan y2.
Adapun Bentuk umum persamaan Bernouli diberikan dengan
Dy/dx+ P(x)y = Q(x)yn.
Dalam persamaan diferensial eksak, dimana persamaan diferensial itu dapat dipisahkan variabel – variabelnya, dalam hal ini kita mempupunyai:
M(x; y) = M(x); N(x; y) = N(y)
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.
Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. Persamaan tersebut mempunyai bentuk:
dx/dt = ax – axy
dy/dt= -cy+ °xy
Pada persamaan dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Dan pada pembahasan mengenai masalah turunan kita telah menggunakan lambang dy/dx.
sebagai suatu kesatuan dan merupakan lambang dari turunan pertama suatu fungsi x.pada pasal ini kita akan membahas pengertian dy dan dx secara terpisah. Misal: terdapat suatu persamaan y = f(x). Didapat Dy =Dy/Dx.Dx. Jika harga x sangat kecil, maka y menjadi sangat kecil juga.pada persamaan dx dan dy disebut differensial dari x dan y. Differensial y atau dy adalah peru.
Dalam persamaan linier dan tak linier perrsamaan differensial biasa :
F(t; y; y˙; : : : ; y(n)) = 0;
Dikatakan linear jika F adalah linear dalam vareabel-vareabel y; y˙; : : : ; y(n). Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear order n diberikan dengan a0(t)y(n) + a1(t)y(n¡1) + : : : + an(t)y = g(t).
Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan merupakan persamaan tak linear.
Persamaan tersebut tak linear karena suku sin ยต. Persamaan diferensial : y’’ + 2e ty’+ yy’+ y2 = t4 , Juga tak linear karena suku yy’ dan y2.
Adapun Bentuk umum persamaan Bernouli diberikan dengan
Dy/dx+ P(x)y = Q(x)yn.
Dalam persamaan diferensial eksak, dimana persamaan diferensial itu dapat dipisahkan variabel – variabelnya, dalam hal ini kita mempupunyai:
M(x; y) = M(x); N(x; y) = N(y)
