Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari
fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang
saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari
berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran
penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan
diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan
teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang
melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika
dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut
dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . Hal ini
kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan
oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton
memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan
berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan
variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi
yang tidak diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus,
persamaan diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan secara
eksplisit.
Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.
Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.
